A. PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan
merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang telah terdefinisi secara
jelas atau sekumpulan objek yang
mempunyai satu kesatuan serta mempunyai keterikatan diantara
anggota-anggotanya.
Contoh
himpunan:
- Kumpulan kata dalam kamus
- Kumpulan buku dalam perpustakaan
Sifat
keterikatan yang ada dalam kumpulan tersebut biasa disebut sifat-sifat dari
himpunan:
1. Setiap objek dapat dibedakan dari yang
satu dengan yang lainnya yang ada dalam unsur/elemen dari himpunan itu sendiri.
2. Dapat dibedakan mana anggota himpunan
dan mana yang bukan.
Contoh:
Umum: - himpunan mahasiswa ikip pgri bali yang namanya
mulai dari huruf A.
-himpunan binatang berkaki 2
` -ilmu geometri berhubungan dengan
matematika yang berhubungan dengan titik.
Khusus: - himpunan bilangan
positif
-himpunan
bilangan real yang x≤5004
-himpunan asli
yang 2 <x<60
ü
Lambang himpunan biasa ditulis sebagai berikut: “A” = { }
ɛ = elemen / unsur
B. MENYATAKAN ATAU MENULIS SUATU HIMPUNAN
1. Cara pendaftaran
Suatu
cara yang dipergunakan untuk menulis himpunan dengan cara mendaftarkan setiap
elemen / unsur dari himpunan tersebut.
Contoh :
- himpunan bilangan bulat yang kurang dari sama dengan 18,
ditulis
B= {0,1,2,3,...}
-himpunan binatang berkaki 4, ditulis B=
{sapi,babi,anjing,...}
2. Cara pencirian
Suatu
cara yang dipakai untuk menyatakan / menulis himpuna dengan cara menulis
karakteristik dari setiap elemen / unsur himpunan tersebut.
Contoh:
- himpunan bilangan real yang
2,005<x≤10,11
Dinyatakan dalam bentuk
pencirian menjadi
R={x/2,005<x≤10,11;xϵR}
-himpunan bilangan bulat, dinyatakan dalam
bentuk pencirian menjadi: B={x/xϵb}
C. JUMLAH UNSUR SUATU HIMPUNAN
Banyaknya elemen atau unsur
yang terkandung didalam himpunan itu sendiri , biasanya di beri simbol “ N(A)”=
kardinal.
Contoh :
1. A= {a,i,u,é,o,e}
“N(A)”=
6
2. B= {-2,-1,0,1,2,3,4}
“N(A)”=7
D. MACAM-MACAM HIMPUNAN
1. Himpunan Kosong
Himpunan
yang tidak memiliki elemen atau unsur. Simbol himpunan kosong
i. { }
ii. Ф atau Ǿ
Contoh :
- himpunan nama hari yang diawali huruf z
-himpunan bilangan bulat
4<x<5
Jika ditulis dengan cara pencirian
menjadi : A= {x/x}
2. Himpunan Bagian
Jika A
adalah himpunan, B juga himpunan maka
himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika untuk
setiapn x elemen berada dalam himpunan A
dan untuk setiap x elemen pula berada dalam himpunan B.
Simbol :
“C”
Contoh :
1. A={1,3,5,7}
B=Himpunan
bilangan bulat positif yang kurang dari 25
Jadi ACB
2. D={0,1,2,3,4}
E={0,1,2,3,4}
Jadi DCE
merupakan himpunan bagian biasa.
3. Himpunan Bagian Sejati
Jika A
adalah suatu himpunan dan B juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A
dikatakan himpunan bagian yang sejati dari himpunan B , jika dan hanya jika
untuk setiap x elemen berada dalam himpunan B , paling sedikit sekurang
kurangnyaada 1 elemen B Yang tidak berada dalam himpunan A.
Contoh :
1. A= {1,3,5,7}
B=Himpunan
bilangan bulat positif yang kurang dari 25
Jadi ACB
adalah himpunan bagian sejati
4. Himpunan berhingga
Suatu
himpunan yang elemen unsur/ anggotanya dapat dihitung banyaknya atau
berhingga banyaknya. Biasanya untuk
menyatakan atau menulis himpunan ini tidak perlu ditulis secara keseluruhan
dari elemen-elemennya ,cukup ditulis anggota awalnya serta anggota akhirnya.
Contoh :
1. A=himpunan bilangan bulat positif <
2000
Jadi
A={0,1,2,3,4,...,1999}
5. Himpunan Tak Berhingga
Suatu
himpunan yang elemen / unsur maupun anggotanya tidak dapat dihitung
banyaknya(tak berhingga). Untuk menyatakan / menulis himpunan ini tidak perlu
ditulis semuanya ukup ditulis elemen awal
dan titulis 3 titik tanpa ada elemen berikutnya.
Contoh:
1. Himpunan bilangan asli
Jadi A=
{1,2,3,...}
2. Himpunan bilangan bulat
Jadi
B={...,-2,-1,0,1,2,3,...}
6. Himpunan Semesta(S)
Suatu
himpunan yang elemen/unsur anggotanya merupakan keseluruhan dari objek objek
pembicaraan didalam himpunan itu sendiri.
Contoh :
1. A= himpunan garis yang saling
berpotongan dalam suatu bidang datar
B=
Himpunan suatu kurva yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar
Jadi
himpunan semesta adalah kumpulan titik-titik pada suatu bidang datar
7. Himpunan Complument ( Ac)
Jika S
adalah himpunan semesta dan A merupakan suatu himpunan bagian dari himpunan S,
Maka Ac adalah suatu himpunan yang elemen atau unsur atau anggotanya adalah
yang tidak berada pada himpunan A itu sendiri.
8. Himpunan Bersandi
Jika A
dalah himpunan dan B juga himpunan maka Himpunan A dikatakan himpunan
bersandi dari himpunan B jika dan hanya
jika paling sedikitnya ada satu atau lebih unsur atau elemen dari kedua
himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama.
Contoh ;
1. A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
B=
{5,7,9,11,13,15,17}
Jadi A
bersandi B= {5,7,9}
9. Himpunan Lepas
Jika A
adalah suatu Himpunan dan B juga himpunan , maka A dikatakan himpunan lepas
dari himpunan b jika dan hanya jiak kedua himpunan tersebut tidak mengandung
unsur atau elemen yang saling bersekutu.
Contoh:
1. A = {x/x bilangan ganjil}
B = {x/x
bilangan genap}
Jadi A
himpunan lepas B
10.
Himpunan Sama
Jika A
suatu himpunan dan b juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan
Himpunan sama dengan himpunan B ,jika dan hanya jika untuk setiap x elemen
berada dalam himpunan A dan x elemen berada pula pada himpunan B , begitu pula sebaliknya,
maka dikatakan himpunan sama.
Contoh :
1. A={a,i,u,e,o}
B={u,e,o,a,i}
Jadi A=B
2. C={0,1,2,3,4,5,6}
D=
{Himpunan Bilangan bulat positif yang kurang dariu dan sama dengan 6}
Jadi C=D
11.
Himpunan Sederajat
Jika A
merupakan suatu himpunan dan b juga merupaakan suatu himpunan, maka himpunan a
dikatakan himpunan sederajat dengan himpunan B jika dan hanya jika kedua
himpunan tersebut mempunyai jumlah bilangan kardinal.
Contoh ;
1. A={a,b,c,d,e,f,g}
B={0,1,2,3,4,5,6}
N(A)= 7
N(B)=7
N(A)=N(B)
Jadi A
sederajat dengan B
Diagram
venn model 1:
Jika
anggota himpunan A sama dengan anggota himpunan B. Ditulis: A = B. Contoh:
A = {1,
2, 3, 4}
B = {1,
2, 3, 4}
Diagram
Venn model 2:
Jika
anggota himpunan A tidak ada yang sama dengan anggota himpunan B. Ditulis : A ⊃⊂
B
Contoh:
A = {1,
2, 3, 4}
B = {5,
6, 7, 8}
Diagram
Venn Model 3:
Jika ada
anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B.
Ditulis:
A ∩ B. Contoh:
A = { 1,
2, 3, 4}
B = {4,
5}
Model
Diagram Venn 4
Jika
semua anggota himpunan A adalah anggota himpunan B. Dtulis: B ⊂
A. Contoh :
A = { 1,
2, 3, 4}
B = { 1,
3}
Latihan
soal:
Dalam
seleksi penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus tes matematika dan bahasa.
Dari 180 peserta terdapat 103 orang dinyatakan lulus tes matematika dan 142
orang lulus tes bahasa. Buatlah diagram venn-nya !
Jawaban:
Bilangan
bulat
Bilangan
bulat terdiri dari bilangan asli ( 1, 2, 3, …), bentuk negatifnya (-1, -2, -3,
…) dan bilangan nol. Bilangan bulat
dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Jika ditinjau dari segi
nama, bilangan bulat pasti sesuatu yang bulat. Maksudnya bilangan ini adalah
bilangan utuh.
Himpunan
semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z, berasal dari
Zahlen (bahasa Jerman untuk “bilangan”).
Sifat-sifat
Himpunan
Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil
kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan
asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua
bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di
bawah pembagian.
Contoh:
4 + 5
akan menghasilkan 9 dimana 4 adalah bilangan bulat, 5 adalah bilangan bulat dan
9 adalah bilangan bulat.
115 –
120 akan menghasilkan -5 dengan -5 adalah bilangan bulat negatif
12 + 3
akan menghasilkan 15 dengan 15 adalah bilangan bulat positif
Bisa
juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai
contoh:
4 / 2
akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.
Bilangan
riil
Dalam
matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa
dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Dalam
notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang
memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah /
scientific notation bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di
belakang tanda titik “.”. Bilangan real merupakan gabungan bilangan rasional,
seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan akar2, dan dapat
direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi
popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional,
irisan Dedekind, dan deret Archimides.
Himpunan
semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata
“Real”).
Sifat-sifat
Himpunan
R tertutup untuk semua operasi. Artinya bilangan riil yang dioperasikan akan
menghasilkan bilangan riil juga
Contoh:
1. 2,5 x 3,7 akan menghasilkan 9,25 dimana
2,5 adalah bilangan riil, 3,7 adalah bilangan riil dan 9,25 adalah bilangan
riil.
2. 1,5 – 3,7 akan menghasilkan -2,2 dengan
-2,2 adalah bilangan riil negatif (dalam kasus 2,5 – 3,5 dihasilkan nilai -1,0)
3. 2,5 + 3,7 akan menghasilkan 6,2 dengan
6,2 adalah bilangan riil positif
4. 2,5 / 3,7 akan menghasilkan 0,675 dimana
0,675 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.
Daftar Pustaka :
http://ani-kurnia.blogspot.com/2011/07/belajar-himpunan.html
